Th des suites adjacentes ...
Th : (un) et (vn) convergentes, si "
n, un£
vn alors lim un£
lim vn
Th des gendarmes
Extraction : applic strictement croissante de N dans N
(vn) suite extraite de u Û
$
j
extractrice tq "
nÎ
N, vn=u(j
(n))
a valeur d’adhérence de (un) Û
$
suite extraite de (un) qui cvge vers a
Th : si (un) complexe cvge, elle n’admet qu’une valeur d’adhérence
Th Bolzano Weierstrass :
De toute suite complexe bornée, on peut extraire une suite convergente
Une suite est de Cauchy si "
e
>0 ; $
NÎ
N | "
(p,q)Î
N², p³
N, q³
N Þ
|up-uq|£
e
Th : une suite cvgente et de Cauchy
Toute suite de Cauchy est cvgente dans espace vectoriel COMPLET (ex : esp de dim finie)
Th du point fixe :
A partie fermée de C, f : Aà
A
Si f contractante alors f admet un unique pt fixe dans A
Toutes les suites def par u0Î
A et un+1=f(un) cvgent vers ce pt fixe
Propriétés d’équivalence, de négligeabilité ...
Th de Césaro : (un) suite complexe et vn tq vn=(u0+...+un)/(n+1) "
nÎ
N
Si (un) cvge vers l Þ
(vn) aussi
corollaire lim(un+1-un)=l, si l=0 alors Un<<n, si l¹
0 alors Un ~
nl
à
Séries numériques :
Def : couple (Un,Sn) tq "
nÎ
N, SnS0=U0 et Un=Sn-Sn-1
La série converge si (Sn) cvge, la limite est la somme de la série
è
Si une série cvge, son terme général cvge vers 0.
Séries à termes positifs :
donc (Sn) croissante et si Sn majoré Þ
cvge vers son Sup sinon diverge vers +¥
Th : une série à termes positifs cvge SSI (Sn) majoré
Def : série absolument convergente si vn=|un| cvgte
si (un) abs cvgte Þ
(un) cvgte
Th : "
nÎ
N, vn³
0 et un¹
0 $
NÎ
N | "
nÎ
N,n³
N Þ
|un+1/un|£
vn+1/vn alors un=O(vn)
La série de t.g. an cvge Û
|a|<1
Règle de d’Alembert : S
un tq un¹
0 (|un+1/un|)cvge vers l
si l<1 S
un cvge abs sinon S
un dvge avec lim |un|=+¥
Th : "
nÎ
N, vn³
0, un=O(vn) si S
vn cvge alors S
un cvge absolument
Th : "
nÎ
N, vn³
0, un=o(vn) si S
vn cvge alors S
un cvge absolument et Rn(u)=o(Rn(v))
Th : "
nÎ
N, vn³
0, un~
(vn) si S
vn cvge alors S
un cvge absolument et Rn(u)~
Rn(v)
si S
vn dvge alors S
un diverge et Sn(u) ~
Sn(v)
Séries de Riemann : de t.g. un=1/(na
) a
réel
DV si a
£
1 et Sn~
n1-a
/(1-a
) si a
<1 et Sn(u)~
ln(u) si a
=1
CV si a
>1 et Rn(u) ~
1/((a
-1)na
-1)
Comp à une intégrale : f cont pm sur [0,+¥
[ à val ³
0 décroissante alors la série de t.g. 
est CV
La série de t.g. un=f(n) CV Û
f intégrable sur [0,+¥
[
Formule de Stirling : n ! ~
nn.e-n.Ö
(2p
n)
Séries à termes non positifs :
Critère de Cauchy
(Sn) complexe cvge Û
(An) CV(part réelle) et (Bn) CV (part imaginaire)
Def : série alternée ((-1)nun) de signe constant
Critère spécial pour séries alternées :
Si série alternée, (un) de lim 0, (|un|) décroissante alors la série est cvgte et S encadré par Sn et Sn+1 du signe de u0 et "
nÎ
N, |Rn|£
|un+1|
Th : la série de t.g. un=(-1)n/na
(Riemann alt.) cvge Û
a
>0
Méthode d’éclatement : si les séries éclatées cvgent toutes Þ
S
un cvge si une seule diverge Þ
S
un dvge mais si au moins 2 dvgent Þ
pas de conclusion
Méthode de regroupement : Th. : vn somme par paquets de p de un, si S
vn CV et lim un=0 alors S
un CV et les séries ont même somme
Familles sommables :
Def : E dénombrable si $
bijection j
de N dans E
ex : Z, N², Z², Q mais pas [0,1[
Def : E dénombrable, Suite exhaustive dans E : (Jn) des parties de E, croissante pour l’inclusion, les parties de (Jn) étant finies et de réunion E.
Def : (uk)kÎ
E est sommable si l’ens. {S
|uk| kÎ
E, KÎ
PF(E)} est majoré et PF : Parties Finies
Familles positives :
Th : (uk) famille de réels ³
0, elle est sommable Û
Sn convergente
et alors lim Sn=Sup {S
uk kÎ
K, KÎ
PF(E)}
Th des gendarmes pour familles positives
Familles doubles :
(Up,q)(p,q)Î
N²à termes positifs est sommable Û
"
pÎ
N, S
up,q cvge de somme Sp et la série S
Sp cvge